Algunos elementos del cálculo diferencial e integral en espacios de Banach

Abstract

En esta monografía estudiamos una extensión de la teoría del cálculo diferencial e integral a espacios de Banach. En particular, estudiamos la derivada de Fréchet y probamos algunas de sus propiedades, incluyendo la linealidad, la regla de la cadena y la relación entre la diferencial y la derivada direccional. Además, demostramos el teorema del valor medio e introducimos la definición de derivada de orden superior, considerando estos operadores como operadores multilineales. Presentamos la definición de integral para operadores de variable real con valores en un espacio normado cualquiera, y con ella definimos la integral de un operador con dominio en un espacio normado X y valores en el espacio de operadores lineales y acotados de X en un espacio normado Y. Por último, demostramos el teorema fundamental del cálculo y una generalización del teorema de Taylor. Este trabajo no solo amplía el marco teórico del cálculo a espacios de Banach, sino que también proporciona herramientas fundamentales para el estudio de problemas matemáticos y aplicaciones en diversos campos; la aplicación de estas extensiones del cálculo son cruciales para resolver problemas prácticos que surgen en diversas áreas de la matemática, la física, biología, economía, ingeniería, entre otras.