Viabilidad de la aplicación del procesamiento cuántico de señales en la teoría de Wavelets

Abstract

En el presente trabajo de grado se exploró la aplicación del Procesamiento Cuántico de Señales (Quantum Signal Processing - QSP) en la teoría wavelet, el cual es un marco de referencia que hace uso de principios de la mecánica cuántica para aportar nuevos conceptos que sirvan para el diseño o modificación de algoritmos de procesa-miento de señales existentes. En especial, se trabajó en tres aspectos claves, como son: cuantización, compresión y optimización. Para el cuantizador probabilístico presentado en el QSP, se demostró que la función de autocorrelación de las funciones wavelet ortogonales sirve como un mapeo probabilístico, que además brinda grandes ventajas respecto a su implementación. También se estableció una conexión entre los frames de Gabor y los frames Wavelet, que pue-den dar origen a un nuevo conjunto de funciones denominadas Wavelet Uniformes Geométricamente. Por último se demostró que bajo ciertas características en la matriz de covarianza de un proceso aleatorio y la matriz wavelet, la transformación wavelet discreta no realiza ningún proceso de decorrelación de las variables del vector aleatorio. Por tanto, se usó una transformación de blanqueamiento diseñada en el QSP que es óptima desde un punto de vista del error cuadrático medio (Mean Square Error -MSE), encontrándose que en el domino wavelet (tiempo-frecuencia) se puede lograr una disminución en la complejidad computacional de la transformación de blanqueamiento, debido a la reducción en el número de entradas distintas de cero que generalmente se puede obtener al transformar al dominio wavelet los vectores aleatorios.

This project explores the Quantum Signal Processing (QSP) application in wavelet theory. QSP is a framework that make use of principles of quantum mechanics to brings new concepts for the design or modification of existing signal processing algorithms. Particularly, this work is focused on three key issues: quantization, compression and optimization. For the probabilistic quantizer presented in QSP, it is shown that the autocorrelation function of orthogonal wavelets serves as a probabilistic mapping, which also provides great advantages to its implementation. It also establishes a connection between the Gabor and Wavelet frames, which can give rise to a new set of functions called Geometrically Uniform Wavelets. Finally, it is demonstrated that under certain characteristics in the covariance matrix of a random process and wavelet matrix, the discrete wavelet transform does not perform any process of decorrelation for the variables of the random process. Then it was used a whitening transformation designed in QSP, optimal from a Mean Square Error (MSE) viewpoint, finding that in the wavelet (time-frequency) domain, computational complexity in the whitening transform can be reduced due to the reduction in the number of nonzero inputs that can usually be obtained by transform random vectors to the wavelet domain.