p-adic valuation and linear forms in Fibonacci-like recurrence sequences

Abstract

Let us consider, for an integer k ≥ 2, the k−Fibonacci sequence which starts with 0, . . . , 0, 1 (a total of k terms) and each term afterwards is the sum of the k preceding terms. The Fibonacci numbers are obtained for k = 2, while when, for example, k = 3, the resulting sequence is the Tribonacci sequence, and so on. The Pell sequence {Pn}n≥0 is the second order linear recurrence defined by Pn = 2Pn−1 +Pn−2 for n ≥ 2, with initial conditions P0 = 0 and P1 = 1. In this thesis, we are interested in finding all integers c having at least two representations as a difference between a k−Fibonacci number and a Pell number. This problem, which can be seen as a variation of the well–known Pillai’s problem, extends previous works concerning the cases c = 0 and k = 2. We also find all ratios of sums of two Fibonacci numbers equal to powers of 2, extending a previous work which investigated the powers of 2 which are sums of two Fibonacci numbers. Finally, we study the variant of the Brocard-Ramanujan equation m! +1 = u2, where u is a member of a sequence of positive integers. Under some technical conditions on the sequence, we prove that this equation has at most finitely many solutions in positive integers m and u. As an application, we completely solve this equation when u is a Tripell number. The Tripell numbers are a generalization of the Pell numbers defined by the recurrence relation Tn = 2Tn−1 + Tn−2 + Tn−3 for n ≥ 3, with T0 = 0, T1 = 1 and T2 = 2 as initial conditions. For this last sequence, we study its 2-adic and 3-adic valuation to determine all Tripell numbers which are factorials. The primary tools used in our investigation are lower bounds for linear forms in logarithms of algebraic numbers and a version of the Baker-Davenport reduction method from Diophantine approximation. We also make use of Zhou’s method of constructing identities for linear recurrence sequences.

Para un entero k ≥ 2, consideremos la sucesión k−Fibonacci, la cual comienza con 0, . . . , 0, 1 (k términos) y a partir de ahí cada término de la sucesión es la suma de los k precedentes. Con k = 2 obtenemos los números de Fibonacci, mientras que si k = 3, la sucesión resultante es la sucesión Tribonacci, y así sucesivamente. La sucesión de Pell {Pn}n≥0 es la sucesión lineal de orden dos definida por Pn = 2Pn−1 + Pn−2 para n ≥ 2, con condiciones iniciales P0 = 0 y P1 = 1. En esta tesis estamos interesados en encontrar todos los enteros c que tengan al menos dos representaciones como una diferencia entre un número k−Fibonacci y un número de Pell. Este problema, que puede verse como una variación del ya conocido problema de Pillai, generaliza trabajos previos concernientes a los casos c = 0 y k = 2. También encontramos todas las razones de sumas de dos números de Fibonacci que son potencias de 2, extendiendo un trabajo anterior en el cual se caracteriza todas las potencias de 2 que son sumas de dos números de Fibonacci. Finalmente, estudiamos la variante de la ecuación de Brocard-Ramanujan m!+1 = u2, donde u es un término de una sucesión de enteros positivos. Bajo algunas condiciones técnicas sobre la sucesión, demostramos que esta ecuación tiene a lo más un número finito de soluciones en enteros positivos m y u. Como aplicación, resolvemos la ecuación cuando u es un número Tripell. Los números Tripell, los cuales representan una generalización de los números de Pell, están definidos por la recurrencia Tn = 2Tn−1 + Tn−2 + Tn−3 para n ≥ 3, con condiciones iniciales T0 = 0, T1 = 1 y T2 = 2. Para esta ´ultima sucesión, estudiamos su valuación 2-ádica y 3-ádica con el objetivo de determinar todos los números Tripell que son factoriales. Las principales herramientas utilizadas en esta investigación son cotas inferiores para formas lineales en logaritmos de números algebraicos y una versión del método de reducción de Baker-Davenport proveniente de aproximación Diofántica. También utilizamos el método de construcción de identidades de Zhou, el cual permite construir identidades para sucesiones lineales recurrentes.