Arithmetic and combinatorial properties of generalized Pell sequences

Abstract

A generalization of the well-known Fibonacci sequence is the k-Fibonacci sequence F^((k)) whose first k terms are 0, ... , 0, 1 and each term afterwards is the sum of the preceding k terms. The k-Pell sequence P^((k)), which is a generalization of the classical Pell sequence, can be defined similarly. Although the sequence F^((k)) has been extensively studied in recent years by several authors, very little is known about P^((k)). In this thesis, we investigate P^((k)) and present recurrence relations, a Binet-type formula and different arithmetic properties for the above family of sequences. Some combinatorial models and interesting identities involving generalized Fibonacci-like numbers are also deduced. We next study some Diophantine problems with the sequences F^((k)) and P^((k)). Specifically, we find ali curious generalized Fibonacci numbers and characterize P^((k))∩ F^((l)) for k, l, ≥ 2, extending prior results which dealt with the above problem for some particular cases of k and l. Additionally, we determine ali terms of F^((k)) close to a power of 2, generalizing a previous work of Chern and Cui that investigated the Fibonacci numbers close to a power of 2. The primary mathematical tools used in our investigation are the theory of Baker of linear forms in logarithms and a version of the Baker-Davenport reduction method belonging to the theory of Diophantine approximation.

Una generalización de la sucesión de Fibonacci es la sucesión k–Fibonacci F^((k)) cuyos primeros k términos son 0, ... , 0, 1 y cada término de ahí en adelante es la suma de los k términos anteriores. La sucesión k–Pell P^((k)), la cual es una generalización de la clásica sucesión de Pell, se puede definir de manera similar. Aunque la sucesión F^((k)) ha sido am­pliamente estudiada en los últimos años por varios autores, muy poco se sabe sobre P^((k)). En esta tesis investigamos P^((k))y presentamos relaciones de recurrencia, una fórmula tipo Binet y diferentes propiedades aritméticas para la anterior familia de sucesiones. También deducimos modelos combinatorios e identidades que involucran números generalizados tipo Fibonacci y estudiamos algunos problemas diofánticos con las sucesiones F^((k)) y P^((k)). Específicamente, encontramos todos los números de Fibonacci generalizados que son números curiosos y caracterizamos P^((k)) ∩ F^((l)) para k, l, ≥ 2, extendiendo resultados previos conocidos en algunos casos particulares de k y l. Adicionalmente, determinamos todos los términos de F^((k)) cercanos a una potencia de 2, generalizando un trabajo previo de Chern y Cui que investigó los números de Fibonacci cercanos a una potencia de 2. Las principales herramientas matemáticas utilizadas en nuestra investigación son la teoría de Baker de formas lineales en logaritmos y una versión del método de reducción de Baker-Davenport perteneciente a la teoría de aproximación Diofántica.