Additive interpretation of the erdos-renyi orthogonal polarity graph

Abstract

A subset A of an abelian group Γ (written additively) is a B2 set in Γ if all the sums a_1 + a_2, with a_1 and a_2 in A, are different. In this thesis we consider three research problems that arose when we study Singer type B_2 sets. In the first we wonder about the existence of difference sets in groups of order p^m, when p is a prime number and m > 1 is an integer. In relation to this, we prove the non-existence of abelian difference sets with parameters (p^m, k, 1). In the second we have an interest in the construction of new almost difference sets, regarding this, we use Singer type B_2 sets to construct three new families of almost difference sets. Additionally, we construct 2-adesigns from these almost difference sets. In the third we use the sum graph of a Singer type B_2 set to establish additive proofs of some structural properties (known and new) of the Erdös-Rényi orthogonal polarity graph 〖ER〗_q. In particular, we prove that the sum graph of a Ruzsa type B_2 set is isomorphic to an induced subgraph of 〖ER〗_q. The primary tools used in our investigation are additive properties of B_2 sets, the First Multiplier Theorem for Difference Sets. We also make use of Ding’s method of constructing almost difference sets. Finally, we employ a result of Luca et al., which determines all the solutions of a given Diophantine equation.

Un subconjunto A de un grupo abeliano Γ (escrito aditivamente) es un conjunto B_2 en Γ si todas las sumas a_1+a_2, con a_1 y a_2 en A, son diferentes. En esta tesis consideramos tres problemas de investigación que surgieron cuando estudiamos conjuntos B_2 de tipo Singer. En el primero, nos preguntamos sobre la existencia de conjuntos diferencia en grupos de orden p^m, cuando p es un número primo y m > 1 es un número entero. En relación a esto, demostramos la inexistencia de conjuntos diferencia abelianos con parámetros (p^m, k, 1). En el segundo, nos interesamos en la construcción de nuevos casi conjuntos diferencia, con respecto a esto, utilizamos conjuntos B_2 de tipo Singer para construir tres nuevas familias de casi conjuntos diferencia. Además, construimos 2-adiseños a partir de estos casi conjuntos diferencia. En el tercero, nos propusimos usar el grafo suma de un conjunto B_2 de tipo Singer para establecer pruebas aditivas de algunas propiedades estructurales (conocidas y nuevas) del grafo polaridad ortogonal Erdös-Rényi 〖ER〗_q. En particular, demostramos que el grafo suma de un conjunto B_2 de tipo Ruzsa es isomorfo a un subgrafo inducido de 〖ER〗_q. Las principales herramientas utilizadas en esta investigación son propiedades aditivas de los conjuntos B_2, el Primer Teorema del Multiplicador, el cual garantiza la existencia de un multiplicador de un conjunto diferencia. También utilizamos un método de construcción de casi conjuntos diferencia de Ding. Además, empleamos un resultado de Luca y otros, el cual determina todas las soluciones de una ecuación diofántica.