Teoremas de punto fijo y aplicaciones a ecuaciones diferenciales e integrales

Abstract

El Análisis Funcional es una de las ramas de la Matemática que más se ha desarrollado en los últimos años teniendo múltiples aplicaciones en diferentes áreas, como la Teoría de Números, la Geometría, el Análisis Numérico y en especial las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Parciales. En su desarrollo han contribuido importantes matemáticos como David Hilbert, Stefan Banach, John Von Neumann entre otros. Se puede afirmar que los resultados obtenidos en esta área son centrales para el estudio de las Ecuaciones Diferenciales e Integrales cuyas aplicaciones son numerosas en diversos campos. Como toda teoría matemática, el Análisis Funcional surge de la necesidad de encontrar nuevas técnicas para abordar problemas en que los métodos tradicionales no se pueden aplicar. En este trabajo estudiaremos un método conocido como el Método de Punto Fijo, que consiste básicamente en reducir el problema de garantizar la existencia de alguna solución para alguna ecuación diferencial o integral dada, a asegurar la existencia de algún punto fijo de un operador adecuado definido en un espacio adecuado. Tanto el operador como el espacio, dependen naturalmente del problema propuesto. Para lo anterior se utilizarán los Teoremas de Punto Fijo de Banach, Brouwer y Schauder los cuales constituyen una herramienta útil del Análisis funcional, para garantizar la existencia de soluciones para algunas ecuaciones diferenciales e integrales.