Una introducción al gradiente, la divergencia y el operador laplaciano sobre variedades Riemannianas

Abstract

La geometría Riemanniana es un desenvolvimiento natural de la geometría diferencial, pues uno de los axiomas de la definición de variedad diferenciable es un resultado importante de la teoría de superficies regulares, el cual dice que el cambio de coordenadas es un difeomorfismo. Gracias a este axioma se puede introducir el concepto de diferenciabilidad, es decir hablar de funciones diferenciables en variedades y aplicar ahí los métodos del cálculo diferencial. El trabajo una introducción al gradiente, la divergencia y el operador laplaciano sobre variedades Riemannianas tiene como eje principal la geometría Riemanniana, así como algunos conceptos de análisis y topología, que son de gran importancia para el desarrollo de esta monografía. En particular, se pretende con estas herramientas redefinir los operadores gradiente, divergencia y laplaciano en espacios más abstractos que ℝⁿ, más concretamente las variedades Riemannianas. Es de notar que ´estos operadores son de gran importancia, dado que con base a estos se han desarrollado diversas aplicaciones en el campo de la física, por ejemplo en las áreas; mecánica clásica, teoría electromagnética, ondas, termodinámica, Cosmología [1], entre otras. La relación de la geometría Riemenniana con el campo de la física, han hecho de ella un instrumento indispensable en la solución de problemas, por ejemplo el laplaciano aparece en múltiples contextos como la teoría del potencial, la propagación de ondas, la conducción del calor, la distribución de tensiones en un sólido deformable, etc. De todas estas situaciones ocupa un lugar destacado en la electrostática y en la mecánica cuántica.