Arreglos Costas

Abstract

Los arreglos Costas son un tema moderno que ha llamado la atención de la comunidad matemática y en especial la nuestra, pues solo desde el año 1960 el Dr. Jhon Costas motivado por una aplicación al radar y al sonar empieza explorando las matrices y sus permutaciones, y encuentra ejemplos de tales arreglos hasta tamaño n = 12. Debido a que encuentra dificultades para la construcción de arreglos n ≥ 12, recibe la ayuda del profesor Solomon Golomb (matemático) quien con técnicas basadas en la teoría de campos finitos le permite construir estos arreglos. En [2] se presenta una tabla con el número exacto de arreglos Costas hasta orden n = 27. En el año 2011 con la ayuda de técnicas computacionales ya se tiene el número exacto de arreglos Costas para n = 28 y n = 29; aunque no se tenga el número exacto de arreglos Costas para orden n = 30 y n = 31 se sabe que sí existen dichas construcciones, lo curioso es que para n = 32 y n = 33 aún no se han encontrado ejemplos de dichos arreglos, dando lugar a las preguntas ¿existen estos arreglos?, ¿existen arreglos para todo n? Este trabajo no pretende responder a estos interrogantes pero si estudiar y analizar los arreglos Costas, sus construcciones y relaciones, basados en el artículo “The Status of Costas Arrays” del profesor Solomon Golomb ([2]) y crear un referente para trabajos posteriores. Este documento está organizado de la siguiente manera. El capítulo 1 contiene las diferentes definiciones y notaciones de los arreglos Costas, y sus construcciones. En el capítulo 2 se hace una analogía del primer capítulo pero teniendo en cuenta los conjuntos de Si don. El capítulo 3 analiza la construcción de Welch con más detalle. En el apéndice A se presentan algunos resultados necesarios de la Teoría de Campos Finitos. El apéndice B expone un listado de las construcciones tipo Welch y tipo Golomb. En el apéndice C se muestra una tabla con el número exacto de arreglos Costas hasta orden 29, y sus rotaciones, reflexiones y simetrías.