Teorema de Goodstein : Un teorema no demostrable

Abstract

Uno de los grandes resultados de los trabajos de Gödel fue demostrar que cualquier sistema formal lo suficientemente potente para describir la aritmética de los números naturales contiene proposiciones indecidibles. Estas son proposiciones enunciadas en el lenguaje del sistema de las cuales no se puede demostrar ni que son falsas, ni que son verdaderas por medio del lenguaje del sistema. Gödel en su trabajo mostró como ejemplo de este tipo de proposiciones, una proposición ((rebuscada)), dejando a la comunidad matemática una pregunta: ¿Si las proposiciones indecidibles que existen son sentencias tan raras, que más da que existan o no, si al parecer no afectarán la matemática? Fue hasta los trabajos de Paris y Harrington en 1977 donde se empezó a darle importancia real a los indecidibles, pues fueron estos matemáticos los primeros en encontrar un indecidible matemático el cual lleva el nombre de Teorema de Ramsey. Después de este hallazgo matemático empezó un real interés por encontrar proposiciones indecidibles, y es en esta búsqueda donde se encontró uno de los más famosos, el Teorema de Goodstein, cuya indecibilidad fue demostrada en 1982 por Kirby y Paris. El Teorema de Goodstein fue planteado y demostrado en 1944 por el matemático inglés Rouben Louis Goodstein pero utilizando una teoría más allá de los números naturales, la teoría de ordinales. En 1983 Cichon publicó una demostración diferente a la presentada por Kirby y Paris, y es esta demostración la que se describe en este trabajo.