Bifurcación de Hopf en un sistema autónomo presa-predador con crecimiento logístico y respuesta funcional de Holling tipo II

Abstract

El sistema autónomo presa-predador con crecimiento logístico y respuesta funcional de Holling tipo II describe la dinámica poblacional de dos especies (presa-predador) y es modelado por el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (1), donde c, k, δ son parámetros positivos y x₁(t), x₂(t) representan las densidades poblacionales de presas y predadores, respectivamente, en el instante t. En este estudio se identifican los puntos de equilibrio del sistema (1), encontrando dos puntos silla-nodo y un punto de equilibrio P₃ no trivial. Se determina las condiciones para que la matriz jacobiana de (1), evaluada en P₃, tenga un par de valores propios complejos puros que es la condición necesaria para la ocurrencia de la bifurcación de Hopf; lo cual permite encontrar los valores c₀, k₀, δ₀ que cumplen esta condición. Se considera cada uno de estos valores como parámetro de bifurcación, y bajo las hipótesis del teorema de la forma normal de la bifurcación de Hopf, se concluye que para cada uno de los valores c₀, k₀, δ₀ the el sistema (1) es topológicamente equivalente a la forma normal de la bifurcación de Hopf. Por último, se calcula el primer coeficiente de Lyapunov para determinar el tipo de bifurcación de Hopf (supercrítica, subcrítica y degenerada) que admite el sistema en cada uno de los casos.

The autonomous prey-predator system with logistic growth and Holling type II functional response describes the population dynamics of two species (prey-predator) and is modeled by the system of ordinary differential equations (1), where c, k, δ are positive parameters, and x₁(t), x₂(t) represent the population densities of prey and predators, respectively, at time t. This study identifies the equilibrium points of the system (2), finding two saddle-node points and one non-trivial equilibrium point P₃. The conditions are determined for the jacobian matrix of (2), evaluated at P₃, to have a pair of purely complex eigenvalues, which is a necessary condition for the occurrence of the Hopf bifurcation. This allows finding the values c₀, k₀, δ₀ that satisfy this condition. Each of these values is considered as a bifurcation parameter, and under the assumptions of the normal form theorem for the Hopf bifurcation, it is concluded that for each of the values c₀, k₀, δ₀ the system (2) is topologically equivalent to the normal form of the Hopf bifurcation. Finally, the first Lyapunov coefficient is calculated to determine the type of Hopf bifurcation (supercritical, subcritical, and degenerate) that the system admits in each of the cases.