Triplas diofánticas asociadas a la sucesión de Fibonacci

Abstract

Diofanto de Alejandría encontró el conjunto de números {1/16, 33/16, 17/4, 105/16}, con la propiedad de que el producto de cualquier par de elementos de él más uno, es el cuadrado de un número racional. Con ello surgieron las m-tuplas diofánticas, que son conjuntos de m enteros positivos distintos tales que el producto de cualquiera dos de ellos más uno es un cuadrado perfecto. Después de siglos de investigación, fue interesante preguntarse por conjuntos en donde esta propiedad fuese algo distinto a un número al cuadrado, de donde surgen las triplas diofánticas asociadas a una sucesión lineal recurrente. Se dice que un conjunto de tres enteros positivos distintos {a, b, c} es una tripla diofántica asociada a la sucesión lineal recurrente (uₙ)ₙ≥0 si los números ab + 1, ac + 1 y bc + 1 pertenecen a (uₙ)ₙ≥0. En esta tesis se hace una breve introducción a las sucesiones de Lucas, la sucesión de Fibonacci, las m-tuplas diofánticas y se determinan las triplas diofánticas asociadas a la sucesión de Fibonacci; basados en el artículo Fibonacci Diophantine Triples [34] de los autores Florian Luca y Lázló Szalay.