Polinomios irreducibles en la sucesión de polinomios de Chebyshev

Abstract

En el mundo moderno la irreducibilidad de un polinomio aún continúa siendo un tema interesante para analizar, pues para cualquiera resultaría imposible construir un método preciso. Claramente en el álgebra ya están consolidados los criterios de irreducibilidad como herramienta. Estos criterios son esenciales para determinar si un polinomio es o no irreducible. En este trabajo, el estudio de la irreducibilidad de un polinomio constituye como el núcleo central, la sucesión polinomial de Chebyshev. En la primera sección se empieza con una introducción de contenido matemático formal de sucesiones recurrentes y polinomiales, donde se enuncian definiciones necesarias como sucesión recurrente polinomial de segundo orden, polinomio característico, raíces características con algunas propiedades, y veremos ejemplos clásicos, la sucesión de Fibonacci y Lucas, más específicamente la sucesión recurrente polinomial de primer y segundo tipo de Chebyshev. Una vez explicados estos conceptos procedemos a la siguiente sección, se enuncian los criterios de irreducibilidad y los teoremas que permiten determinar la irreducibilidad de los términos de las sucesiones polinomiales de segundo orden, Fibonacci y Lucas. Cabe destacar que la sucesión de Chebyshev posee propiedades exclusivas que la dotan de una estructura singular, por eso se hizo referencia a ellas con sus respectivas demostraciones. Además, esta Tesis, al tratarse de la identificación de términos polinomiales irreducibles se realizó un estudio análogo a las sucesiones anteriores mencionadas. Finalmente, daremos resultados de gran importancia que permitan el reconocimiento de polinomios irreducibles de una sucesión recurrente tan conocida como la sucesión polinomial de Chebyshev. Así destacar la relevancia de ser parte de ella y observar las equivalencias con otras sucesiones relacionadas.