Una aproximación aleatoria a la integral de Lebesgue

Abstract

En este trabajo se analiza en detalle los resultados presentados por J. Grahl, con el fin de dar a conocer una manera alternativa de aproximar la integral de Lebesgue de una función real f definida en [0, 1] y Lebesgue integrable. Primero, se presenta algunos conceptos y resultados de teoría de la probabilidad y de teoría de la medida necesarios para el entendimiento y desarrollo de los capítulos posteriores. En el segundo capítulo se define las sumas aleatorias de Riemann de la función f determindas por la partición P, y se demostrará que si 〖〖{P〗_n}〗_(n=1)^∞ es una sucesión de particiones de [0, 1] tal que la sucesión de tamaños de las particiones tiende a cero cuando n tiende a infinito, entonces la sucesión de sumas aleatorias converge en probabilidad a la integral de Lebesgue de dicha función. En el tercer capítulo se muestra que es posible construir funciones y sucesiones de particiones de [0, 1] tales que la correspondiente sucesión de sumas aleatorias de Riemann no converge casi seguro a la integral de Lebesgue de la función construida. Finalmente se dan condiciones suficientes para que la convergencia casi segura de una sucesión de sumas aleatorias de Riemann de una función f a la integral de Lebesgue de f se cumpla. En los apéndices A y B se mensionan algunos resultados que son de gran utilidad en la prueba de los teoremas.