Reglas Golomb generalizadas y la teoría de Ramsey

Abstract

Una regla Golomb es un conjunto de enteros positivos con la propiedad de que todas las diferencias no nulas que generan sus elementos son distintas. Aunque su relación con los conjuntos de Sidon es inmediata, pasaron varias décadas antes de que se estableciera su equivalencia. En este trabajo estudiamos las reglas g−Golomb que son una generalización de las reglas Golomb que permite la repetición de las diferencias hasta g veces. En primer lugar, basados en el trabajo que iniciaron Erdös y Freud sobre la distribución de conjuntos de Sidon maximales, demostramos la buena distribución que tienen las reglas g−Golomb óptimamente densas cuando están contenidas en un intervalo entero o en progresiones aritméticas disjuntas de la misma diferencia. En segundo lugar, reunimos las diversas definiciones de reglas g−Golomb en diferentes contextos y las sintetizamos en el concepto de arreglos g−Golomb, dichos arreglos resultan ser una generalización de las reglas g−Golomb cuando son consideradas en un grupo cualquiera. Lo anterior nos permitió determinar el comportamiento asintótico de una función maximal de dichos arreglos, proporcionar resultados sobre los arreglos g−Golomb en Zd y encontrar nuevas construcciones de secuencias sonar extendidas que son casos particulares de los arreglos g−Golomb en Z2. Finalmente, estudiamos los números Sidon Ramsey en el caso modular y logramos establecer cotas superiores e inferiores junto con 6 valores exactos de este parámetro. Como consecuencia de nuestra investigación, aportamos nuevos resultados a la teoría de los conjuntos casi diferencia, mostramos familias infinitas de parámetros para los cuales no existen conjuntos casi diferencia y en consecuencia obtuvimos cotas superiores para una función maximal de los conjuntos de Sidon modulares.

A Golomb ruler is a set of positive integers with the property that all nonzero differen-ces generated by its elements are distinct. Although its relationship with Sidon sets is immediate, its equivalence was established several decades later. In this work we study the g−Golomb rules, which are a generalization of the Golomb rules that allow the repetition of differences up to g times. First, based on the work started by Erd¨os and Freud on the distribution of maximal Sidon sets, we show the well-distribution of optimally dense g−Golomb rules when they are contained in an integer interval or in disjoint arithmetic progressions of the same difference. Second, we bring together the various definitions of g−Golomb rules in different contexts and synthesize them into the concept of g−Golomb arrays, such arrays turn out to be a generalization of g−Golomb rules when considered in any group. The above allowed us to determine the asymptotic behavior of a maximal function of such arrays, provide results on the g−Golomb arrays in Zd and find new constructions of extended sonar sequences which are particular cases of g−Golomb arrays in Z2. Finally, we study the Sidon Ramsey numbers in the modular case and manage to set upper and lower bounds together with 6 exact values of this parameter. As a consequence of our research, we provide new results to the theory of almost difference sets, we show infinite families of parameters for which there are no almost difference sets and therefore we obtain upper bounds for a maximal function of the modular Sidon sets.