Teorema de representación de Riesz y aplicaciones a ecuaciones diferenciales

Abstract

La importancia del estudio del Análisis Funcional como una de las ramas de la Matemáticas, radica en su evolución y actual desarrollo que ha tenido a través de las mismas Matemáticas, como el Algebra, la Teoría de Números, la Geometría y Teoría de conjuntos entre otras. Pero es indiscutible, el gran aporte que la primera le ha dado a la misma, tanto en el campo abstracto como en el aplicado. Sus múltiples progresos han estimulado considerablemente la teoría de las Ecuaciones Diferenciales, como se conoce, es una de las ramas de las Matemáticas que tiene gran aplicación. La experiencia ha demostrado la dificultad de obtener teorías matemáticas genéricas a las soluciones de ecuaciones diferenciales, salvo para unos pocos tipos; ahí radica en concreto, la necesidad de estudiar tipos especiales de ecuaciones. En este trabajo estudiaremos los problemas de Dirichlet homogneo y no homogneo en dimensión uno. El teorema de representación de Riesz junto con otros teoremas de Análisis, como el teorema de Stampacchia y el de Lax-Milgran constituyen una herramienta útil del Análisis Funcional para encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales tanto ordinarias como parciales. La noción de espacio de Sobolev es esencial para el estudio de lo que suele llamarse soluciones débiles. De tal manera que resulta interesante mostrar como se utilizan estos resultados en la solución de ecuaciones diferenciales.