Algunos problemas aditivos en residuos cuadráticos módulo P

Abstract

En las matemáticas es muy común que algunas de las propiedades más interesantes de ciertos tipos de números, cuya definición se fundamenta en una determinada operación, aparezcan cuando se analizan dichos números mediante una operación distinta y con preguntas parecidas. Los números primos son un ejemplo latente de esta afirmación: su definición se basa enteramente en el concepto de multiplicación, y del teorema fundamental de la aritmética, se sigue que todo natural puede descomponerse como producto de ellos, pero ¿qué pasa aditivamente?. En los años 30, Vinogradov demostró que todo número suficientemente grande es la suma de tres primos y esto es lo mejor conocido hasta ahora. Posteriormente Chen probó un resultado más fuerte, sin embargo usa conceptos más complicados. La famosa conjetura de Golbach sigue sin resolverse y no parece haber esperanzas de una pronta respuesta. Analizando el Teorema Fundamental de la Aritmética y la Conjetura de Golbach se observa que ambas exponen el mismo concepto pero con diferente operación: se desea saber si los primos son una base multiplicativa y aditiva para los números naturales. Sin embargo, con respecto a la suma, hay una pregunta adicional y es: ¿cuántos primos es necesario sumar como máximo en cada caso, de forma que se obtengan todos los enteros positivos?. Con este enfoque surgen preguntas muy importantes e interesantes las cuales no existirían si se restringieran los primos a un análisis exclusivamente multiplicativo.