Un método cuasi-Newton para ecuaciones polinomiales matriciales

Abstract

En este trabajo de investigación consideramos el problema de resolver una ecuación polinómica matricial, de gran interés por sus numerosas aplicaciones en la ciencia e ingeniería. En primer lugar, obtenemos la forma explícita del polinomio usado en la globalización de métodos tipo Newton que resuelven ese tipo de ecuaciones, el cual sólo se conocía para el caso cuadrático, deducimos una condición necesaria y suficiente para minimizar dicho polinomio en el intervalo [0, 2] y analizamos numéricamente el desempeño del polinomio explícito en un algoritmo Newton globalizado. Por otro lado, proponemos un algoritmo cuasi-Newton local para resolver una ecuación polinómica matricial, el cual reduce el costo computacional del método de Newton tradicionalmente utilizado para resolver este tipo de ecuaciones. Demostramos que el nuevo algoritmo es local e incluso, cuadráticamente convergente y analizamos su desempeño numérico. Teniendo en cuenta las ventajas de disponer de un algoritmo global introducimos una estrategia de búsqueda lineal exacta en el algoritmo cuasi-Newton propuesto y basados en la función de mérito, proponemos una aproximación de esta y dos algo-ritmos cuasi-Newton globales para resolver ecuaciones polinómicas matriciales. Para cada algoritmo, demostramos que la estrategia de globalización usada no afecta la convergencia del método cuasi-Newton local. Además, analizamos numéricamente el desempeño de los dos algoritmos globales y la ventaja de introducir una búsqueda lineal exacta en el algoritmo local.

In this research, we consider the problem of solving a matrix polynomial equation of great interest due to its numerous applications in science and engineering. First, we obtain the explicit form of polynomial used in the globalization of Newton-type methods that solves this equations, which was only known for the qua-dratic case, we deduce a necessary and sufficient condition to minimize that polyno-mial in the interval [0, 2] and we analyze numerically the performance of the explicit polynomial in a globalized Newton-type algorithm. On the other hand, we propose a local quasi-Newton algorithm to solve a matrix polynomial equation, which reduces the computational cost of the Newton method traditionally used to solve this type of equations. We show that this algorithm is locally and even quadratically convergent and we analyze its numerical performance. Taking into account the advantages of having a global algorithm, we introduce a strategy of exact line search in the proposed quasi-Newton algorithm and based on the merit function, we propose an approximation of this and two global quasi-Newton algorithms for solve matrix polynomial equations. For each algorithm, we show that the globalization strategy used does not affect the convergence of the local quasi-Newton method. Furthermore, we numerically analyze the performance of the two global algorithms and the advantage of introducing an exact line search in the local algorithm.