https://repositorio.unicauca.edu.co/xmlui/handle/123456789/4944 2026-05-15T16:32:35Z https://repositorio.unicauca.edu.co/xmlui/handle/123456789/8888 Métodos de Newton y cuasi-Newton para el problema de complementariedad generalizado Vivas, Hevert En este trabajo de investigación, consideramos el problema de complementariedad generalizado y, con el fin de resolverlo, lo reformulamos, no solo como un sistema de ecuaciones no lineales no diferenciable mediante una familia uniparamétrica de funciones de complementariedad, sino como un problema de minimización continuamente diferenciable. Analizamos detalladamente el operador que define la reformulación como un sistema de ecuaciones no lineales y demostramos que los resultados obtenidos por otros autores para complementariedad no lineal se extienden naturalmente al problema de complementariedad generalizado. Para resolver el sistema de ecuaciones no lineales, e indirectamente el problema de complementariedad generalizado, proponemos inicialmente un algoritmo global, no suave, tipo Newton, para el cual demostramos resultados de convergencia global y analizamos su desempeño numérico. Posteriormente, con el mismo fin, proponemos una familia de métodos secantes de cambio mínimo, desarrollamos su respectiva teoría de convergencia y analizamos su desempeño numérico. Con el fin de globalizar la familia de métodos secantes, introducimos una búsqueda lineal libre de derivadas, con lo cual proponemos un algoritmo global genérico para resolver el problema de complementariedad generalizado mediante su reformulación como un problema de minimización. El carácter genérico del algoritmo se debe a que no se especifica la forma de actualizar las aproximaciones de las matrices del jacobiano generalizado. Bajo ciertas hipótesis, presentamos resultados de convergencia global para el nuevo algoritmo. Finalmente, abordamos el problema de la actualización de las aproximaciones basándonos en la teoría secante de cambio mínimo, con lo cual obtenemos un nuevo algoritmo global tipo secante y libre de derivadas para resolver el problema de complementariedad generalizado, el cual es un caso particular del algoritmo genérico propuesto previamente. Demostramos que cualquier sucesión generada por el nuevo algoritmo satisface las hipótesis de convergencia del algoritmo genérico heredando así, sus resultados de convergencia. Complementamos el desarrollo teórico con un análisis del desempeño numérico del algoritmo propuesto.; In this work, we consider the generalized complementarity problem. To solve it, we reformulate it as a nonsmooth system of equations using a one-parameter family of complementarity functions and as a minimization problem. We analyze in detail the operator that defines the reformulation as a system of equations and we show that the results obtained by other authors for nonlinear complementarity naturally extend to the generalized complementarity problem. In order to solve the system of nonlinear equations and indirectly the generalized complementarity problem, we initially propose a nonsmooth global Newton-type algorithm, for which we demonstrate global convergence results and analyze its numerical performance. After, with the same purpose, we propose a family of least-change secant methods, develop their respective theory of convergence, and analyze their numerical performance. To globalize the family of secant methods, we introduce a derivative-free linear search and propose a generic global algorithm to solve the generalized complementarity problem using its reformulation as a minimization problem. The generic name of the algorithm is due to the fact that the way to update the approximations of the generalized Jacobian matrices is not specified. Under certain hypotheses, we present global convergence results for the new algorithm. Finally, we analyze the problem of updating the approximations. We use leastchange secant theory and obtain a new derivative-free secant-type global algorithm which is a particular case of the generic algorithm. We show that any sequence generated by the new algorithm satisfies the convergence hypotheses of the generic algorithm, thus it inherit its convergence results. We complement the theoretical development with an analysis of the numerical performance of the proposed algorithm. 2023-01-01T00:00:00Z https://repositorio.unicauca.edu.co/xmlui/handle/123456789/8887 Un método cuasi-Newton para ecuaciones polinomiales matriciales Macías Caicedo, Eduard Mauricio En este trabajo de investigación consideramos el problema de resolver una ecuación polinómica matricial, de gran interés por sus numerosas aplicaciones en la ciencia e ingeniería. En primer lugar, obtenemos la forma explícita del polinomio usado en la globalización de métodos tipo Newton que resuelven ese tipo de ecuaciones, el cual sólo se conocía para el caso cuadrático, deducimos una condición necesaria y suficiente para minimizar dicho polinomio en el intervalo [0, 2] y analizamos numéricamente el desempeño del polinomio explícito en un algoritmo Newton globalizado. Por otro lado, proponemos un algoritmo cuasi-Newton local para resolver una ecuación polinómica matricial, el cual reduce el costo computacional del método de Newton tradicionalmente utilizado para resolver este tipo de ecuaciones. Demostramos que el nuevo algoritmo es local e incluso, cuadráticamente convergente y analizamos su desempeño numérico. Teniendo en cuenta las ventajas de disponer de un algoritmo global introducimos una estrategia de búsqueda lineal exacta en el algoritmo cuasi-Newton propuesto y basados en la función de mérito, proponemos una aproximación de esta y dos algo-ritmos cuasi-Newton globales para resolver ecuaciones polinómicas matriciales. Para cada algoritmo, demostramos que la estrategia de globalización usada no afecta la convergencia del método cuasi-Newton local. Además, analizamos numéricamente el desempeño de los dos algoritmos globales y la ventaja de introducir una búsqueda lineal exacta en el algoritmo local.; In this research, we consider the problem of solving a matrix polynomial equation of great interest due to its numerous applications in science and engineering. First, we obtain the explicit form of polynomial used in the globalization of Newton-type methods that solves this equations, which was only known for the qua-dratic case, we deduce a necessary and sufficient condition to minimize that polyno-mial in the interval [0, 2] and we analyze numerically the performance of the explicit polynomial in a globalized Newton-type algorithm. On the other hand, we propose a local quasi-Newton algorithm to solve a matrix polynomial equation, which reduces the computational cost of the Newton method traditionally used to solve this type of equations. We show that this algorithm is locally and even quadratically convergent and we analyze its numerical performance. Taking into account the advantages of having a global algorithm, we introduce a strategy of exact line search in the proposed quasi-Newton algorithm and based on the merit function, we propose an approximation of this and two global quasi-Newton algorithms for solve matrix polynomial equations. For each algorithm, we show that the globalization strategy used does not affect the convergence of the local quasi-Newton method. Furthermore, we numerically analyze the performance of the two global algorithms and the advantage of introducing an exact line search in the local algorithm. 2023-01-01T00:00:00Z https://repositorio.unicauca.edu.co/xmlui/handle/123456789/6872 Reglas Golomb generalizadas y la teoría de Ramsey Delgado Ordóñez, Luis Miguel Una regla Golomb es un conjunto de enteros positivos con la propiedad de que todas las diferencias no nulas que generan sus elementos son distintas. Aunque su relación con los conjuntos de Sidon es inmediata, pasaron varias décadas antes de que se estableciera su equivalencia. En este trabajo estudiamos las reglas g−Golomb que son una generalización de las reglas Golomb que permite la repetición de las diferencias hasta g veces. En primer lugar, basados en el trabajo que iniciaron Erdös y Freud sobre la distribución de conjuntos de Sidon maximales, demostramos la buena distribución que tienen las reglas g−Golomb óptimamente densas cuando están contenidas en un intervalo entero o en progresiones aritméticas disjuntas de la misma diferencia. En segundo lugar, reunimos las diversas definiciones de reglas g−Golomb en diferentes contextos y las sintetizamos en el concepto de arreglos g−Golomb, dichos arreglos resultan ser una generalización de las reglas g−Golomb cuando son consideradas en un grupo cualquiera. Lo anterior nos permitió determinar el comportamiento asintótico de una función maximal de dichos arreglos, proporcionar resultados sobre los arreglos g−Golomb en Zd y encontrar nuevas construcciones de secuencias sonar extendidas que son casos particulares de los arreglos g−Golomb en Z2. Finalmente, estudiamos los números Sidon Ramsey en el caso modular y logramos establecer cotas superiores e inferiores junto con 6 valores exactos de este parámetro. Como consecuencia de nuestra investigación, aportamos nuevos resultados a la teoría de los conjuntos casi diferencia, mostramos familias infinitas de parámetros para los cuales no existen conjuntos casi diferencia y en consecuencia obtuvimos cotas superiores para una función maximal de los conjuntos de Sidon modulares.; A Golomb ruler is a set of positive integers with the property that all nonzero differen-ces generated by its elements are distinct. Although its relationship with Sidon sets is immediate, its equivalence was established several decades later. In this work we study the g−Golomb rules, which are a generalization of the Golomb rules that allow the repetition of differences up to g times. First, based on the work started by Erd¨os and Freud on the distribution of maximal Sidon sets, we show the well-distribution of optimally dense g−Golomb rules when they are contained in an integer interval or in disjoint arithmetic progressions of the same difference. Second, we bring together the various definitions of g−Golomb rules in different contexts and synthesize them into the concept of g−Golomb arrays, such arrays turn out to be a generalization of g−Golomb rules when considered in any group. The above allowed us to determine the asymptotic behavior of a maximal function of such arrays, provide results on the g−Golomb arrays in Zd and find new constructions of extended sonar sequences which are particular cases of g−Golomb arrays in Z2. Finally, we study the Sidon Ramsey numbers in the modular case and manage to set upper and lower bounds together with 6 exact values of this parameter. As a consequence of our research, we provide new results to the theory of almost difference sets, we show infinite families of parameters for which there are no almost difference sets and therefore we obtain upper bounds for a maximal function of the modular Sidon sets. 2022-12-01T00:00:00Z https://repositorio.unicauca.edu.co/xmlui/handle/123456789/6635 Correlación de códigos ortogonales ópticos en una y dos dimensiones Ruiz, Hamilton Mauricio El siguiente trabajo de investigación contiene el estudio de una familia de códigos denominada códigos ortogonales ópticos, los cuales son de vital importancia en sistemas de acceso múltiple por división de código. La investigación se centra principalmente en el estudio de la correlación de varias familias de códigos y también de conjuntos de Sidon, primordial para construir familias de códigos óptimos para infinitos valores de la longitud y peso. En el trabajo se combinan diferentes herramientas teóricas de Teoría de Números, Cuerpos Finitos, Combinatoria, entre otras. Los resultados de este estudio muestran que bajo ciertas condiciones es posible obtener códigos óptimos que mejoran los resultados presentados hasta el momento. También presentamos algunos problemas abiertos para futuras investigaciones. Algunos resultados importantes obtenidos durante el desarrollo de este trabajo se presentan publicados y otros en proceso de publicación.; The following research work contains the study of a family of codes called optical ortho-gonal codes, which are of vital importance in code division multiple access systems. The research focuses mainly on the study of the connections of several families of codes and also of Sidon sets, essential to build families of optimal codes for infinite values of length and weight. In the work, different theoretical tools of Number Theory, Finite Fields, Combinatorics, among others, are combined. The results of this study show that under certain conditions it is possible to obtain optimal codes that improve the results pre-sented so far. We also present some open problems for future research. Some important results obtained during the development of this work are published and others are in the process of being published. 2023-03-01T00:00:00Z